Производная показательной и логарифмической функцийУрок в 11 «Б» классе
учитель Копова О.В.
Алгебра и начала математического анализа
Дифференцирование показательной и логарифмической функции
Составитель:
учитель математики МОУ СОШ №203 ХЭЦ
г. Новосибирск
Видутова Т. В.
Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование
Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.
Построим для различных оснований а графики:
1. y = 2 x
3. y = 10 x
2. y = 3 x
(2 вариант)
(1 вариант)
1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);
2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0
при х ∞;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.
Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х
С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.
Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.
График и свойства функции y = е x :
1) D (f) = (- ∞; + ∞);
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = (0; + ∞);
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Функцию y = е x называют экспонентой .
В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :
(e x ) = e x
(е 5х )" = 5е 5х
(е х-3 )" = е х-3
(е -4х+1 )" = -4е -4х-1
Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.
2) f()=f(1)=e
4) y=e+e(x-1); y = ex
Ответ:
Пример 2 .
x = 3.
Пример 3 .
Исследовать на экстремум функцию
х=0 и х=-2
х = -2 – точка максимума
х = 0 – точка минимума
Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).
График и свойства функции y = ln x
Свойства функции y = ln x:
1) D (f) = (0; + ∞);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = (- ∞; + ∞);
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.
В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования
Пример 4:
Вычислить значение производной функции в точке x = -1.
Например:
Интернет-ресурсы:
Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант) 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)" title="Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> title="Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)">
С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 до 66,5. Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35, при а = 3 он равен 48. В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е. Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь: е = 2, … ; На практике обычно полагают, что е 2,7.
График и свойства функции y = е x: 1) D (f) = (- ; +); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает; 4) не ограничена сверху, ограничена снизу 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6) непрерывна; 7) E (f) = (0; +); 8) выпукла вниз; 9) дифференцируема. Функцию y = е x называют экспонентой.
В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х: (e x) = e x (е 5х)" = 5е 5х (е -4х+1)" = -4е -4х-1 (е х-3)" = е х-3
3) -2 x) х = -2 – точка максимума х = 0 – точка минимума Ответ:
Свойства функции y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает на (0; +); 4) не ограничена; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) Е (f) = (-; +); 8) выпукла верх; 9) дифференцируема. График и свойства функции y = ln x
В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования
0 справедлива формула дифференцирования">
0 справедлива формула дифференцирования">
0 справедлива формула дифференцирования" title="В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования">
title="В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования">
Интернет-ресурсы: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html