Пусть L - произвольное линейное пространство, a i Î L, - его элементы (векторы).

Определение 3.3.1. Выражение , где , - произвольные вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов a 1 , a 2 ,…, a n .

Если вектор р = , то говорят, что р разложен по векторам a 1 , a 2 ,…, a n .

Определение 3.3.2. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной , если среди чисел есть хотя бы одно отличное от нуля. В противном случае, линейная комбинация называется тривиальной .

Определение 3 .3.3 . Векторы a 1 , a 2 ,…, a n называются линейно зависимыми, если существуют их нетривиальная линейная комбинация, такая что

= 0 .

Определение 3 .3.4. Векторы a 1 ,a 2 ,…, a n называются линейно независимыми, если равенство = 0 возможно лишь в случае, когда все числа l 1, l 2,…, l n одновременно равны нулю.

Отметим, что всякий ненулевой элемент a 1 можно рассматривать как линейно независимую систему, ибо равенство l a 1 = 0 возможно лишь при условии l = 0.

Теорема 3.3.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости a 1 , a 2 ,…, a n является возможность разложения, по крайней мере, одного из этих элементов по остальным.

Доказательство. Необходимость. Пусть элементы a 1 , a 2 ,…, a n линейно зависимы. Это означает, что = 0 , причем хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, l n отлично от нуля. Пусть для определенности l 1 ¹ 0. Тогда

т. е. элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n .

Достаточность. Пусть элемент a 1 разложен по элементам a 2 , a 3 , …, a n , т. е. a 1 = . Тогда = 0 , следовательно, существует нетривиальная линейная комбинация векторов a 1 , a 2 ,…, a n , равная 0 , поэтому они являются линейно зависимыми.

Теорема 3.3.2 . Если хотя бы один из элементов a 1 , a 2 ,…, a n нулевой, то эти векторы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть a n = 0 , тогда = 0 , что и означает линейную зависимость указанных элементов.

Теорема 3.3.3 . Если среди n векторов какие-либо p (p < n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказательство. Пусть для определенности элементы a 1 , a 2 ,…, a p линейно зависимы. Это означает, что существует такая нетривиальная линейная комбинация, что = 0 . Указанное равенство сохранится, если добавить к обеим его частям элемент . Тогда + = 0 , при этом хотя бы одно из чисел l 1, l 2,…, lp отлично от нуля. Следовательно, векторы a 1 , a 2 ,…, a n являются линейно зависимыми.

Следствие 3.3.1. Если n элементов линейно независимы, то любые k из них линейно независимы (k < n).

Теорема 3.3.4 . Если векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 линейно независимы, а элементы a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то вектор a n можно разложить по векторам a 1 , a 2 ,…, a n - 1 .

Доказательство. Так как по условию a 1 , a 2 ,…, a n - 1 , a n линейно зависимы, то существует их нетривиальная линейная комбинация = 0 , причем (в противном случае, окажутся линейно зависимыми векторы a 1 , a 2 ,…, a n - 1). Но тогда вектор

что и требовалось доказать.

Выражение вида называется линейной комбинацией векторов A 1 , A 2 ,...,A n с коэффициентами λ 1, λ 2 ,...,λ n .

Определение линейной зависимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно зависимой , если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , при котором линейная комбинация векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору , то есть система уравнений: имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n отлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов

Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно независимой , если линейная комбинация этих векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , то есть система уравнений: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ имеет единственное нулевое решение.

Пример 29.1

Проверить, является ли линейно зависимой система векторов

Решение :

1. Составляем систему уравнений :

2. Решаем ее методом Гаусса . Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.

3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:

4. Получаем общее решение системы :

5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x 3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).

Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая .

Свойства систем векторов

Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

Базис системы векторов

Базисом системы векторов A 1 , A 2 ,..., A n называется такая подсистема B 1 , B 2 ,...,B r (каждый из векторов B 1 ,B 2 ,...,B r является одним из векторов A 1 , A 2 ,..., A n) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A j системы A 1 , A 2 ,..., A n линейно выражается через векторы B 1 ,B 2 ,...,B r

r — число векторов входящих в базис.

Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.

Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 ,..., E m , то они образуют базис системы.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того, чтобы найти базис системы векторов A 1 ,A 2 ,...,A n необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Привести эту систему

Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.

Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .

Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.

Пример 1. Многочлен является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.

Решение.

Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.

Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Окончательно получим

и

Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.

Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов

a). ;

b). ?

Решение.

a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю

Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде

Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">

Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение .

Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;

b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)

Применяя аналогичные рассуждения, получим

Решая систему уравнений методом Гаусса, получим

или

Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**) . Следовательно, система векторов – линейно зависима.

Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)

В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.

Из соотношения (***) получаем или Обозначим .

Получим

Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)

1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .

3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).

4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.

5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.

6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .

c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.

10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:

a). a+ b, b, c.

b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число

c). a+ b, a+c, b+c.

11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?

12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.

Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).

Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .

20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.

30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.

Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.

40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.

50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.

60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.

Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы

(21)

Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

Примеры:

1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.

2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.

3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.

4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.

5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются

а) 1, х, х2, … , хn, … ;

б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …

6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .

Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:

Матрица системы

Разрешенная система имеет вид: (r A = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x 2 – свободная переменная): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Наличие ненулевого частного решения, например, , говорит о том, векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно зависимы.

Пример 2.

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

или в развернутом виде (по координатам)

Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.

Проверяем систему на вырожденность:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Система невырождена и, т.о., векторы a 1 , a 2 , a 3 линейно независимы.

Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:

а) два равных вектора;

б) два пропорциональных вектора.