Топология на пальцах. Теория полигонального моделирования персонажа Топология как наука и предпосылки её возникновения

02.04.2024

Этой статьей я начинаю серию уроков по органическому 3D-моделированию. Эта статья именно о принципах моделирования, т.е. абсолютно не зависит от особенностей вашего (любого) 3D-пакета. В серии статей будут рассмотрены такие темы:

форма,
пропорции,
полюса,
топология
и многое другое.

Существует огромное количество методов моделирования и все из них имеют свои достоинства и недостатки, так что нет такой штуки как "Самый лучший метод моделирования" .

Причина, почему я пошел именно по пути формы – она работает. А еще я всегда хотел стать скульптором. Перед тем как углубиться в детали, я люблю набрасывать черновую форму. Именно благодаря этому я достиг так много и поэтому решил написать эту статью, чтобы помочь начинающим в органическом 3D моделировании и показать им форму прежде, чем они начнут что-либо делать.

Первым делом я начал с формы головы и нарвался на разочарование, поскольку я пытался ее сделать без какой-либо справочной информации (без референсов - от английского reference), только используя свое воображение. Вместо того, чтобы набросать черновую форму, мой мозг был занят такими вопросами как: "Как много разрезов нужно? Почему? Где и Когда?".

Я переживал не только по поводу головы, но также по поводу глаз, носа и рта (а я к ним еще даже не добрался). Мой мозг был сбит с толку и я был в полном непонимании как же создать эту голову… до одного дня, когда я ухитрился набросать базовую голову из бокса и узреть… узреть момент истины ! Я был так возбужден, что решил повторить это снова! А потом еще и еще, до тех пор, пока мне это надоело и я не вымотался.

Оглядываясь назад, это выдается мне таким элементарным и простым. Все, что было нужно - это создать бокс и сделать пару срезов и правок!

Однако, если это так просто, то почему же я так долго страдал над этим? Можем ли мы все делать это без таких проблем, какие испытал я? Что ж, мой ответ - ДА! Но только если вы имеете для этого нужный склад ума . К примеру я, не имел, когда только начинал.

Что я понял сейчас, так это то, что когда мы изучаем 3D-моделирование , то мы как раз вообще не учим 3D ! Что мы действительно делаем, так это ищем подходящий "склад ума". Так что когда вы испытываете трудности в каком-то деле – это не значит, что у вас не хватает навыков или знания. Это все потому, что у вас нет нужного склада ума, чтобы сделать то, что вы пытаетесь сделать.

Как только вы перестроили свой ум, ваш рассудок возьмет верх и вы начнете делать вещи естественно. Поэтому это первая вещь, которую мы должны попробовать перестроить – склад ума.

Склад ума

Рисование профиля (контура): соединение точек

Этот маленький пример поможет вам перестроить склад ума.

Сначала просто посмотрите на это изображение. Теперь мы нарисуем профиль с помощью точек и соединим их. Если бы у вас было только две точки (на лбу и подбородке), чтобы соединить их. Как бы вы это сделали? Ответ: от лба к подбородку, поскольку другого пути просто нет.

Однако, если вы увеличите количество точек, то они не только позволят вам придать форму профилю более точно , но и позволят это сделать многими способами , а это уже приводит к формированию стиля (художественного).

Это очень важно держать в уме, когда вам нужно сделать разрезы или знать где их завершить.

Ключевой Разрез (КР) и Заполняющий Разрез (ЗР).

Поначалу мне было очень тяжело понять, где и сколько я должен сделать разрезов при создании той или иной формы. Поэтому я искал аналогию этому процессу. Этой аналогией оказалась Анимация .

В Анимации есть концепция Ключевых Кадров (КК). Если коротко, то это характерные позы персонажа в определенный момент времени . Эта концепция также включает в себя Промежуточные Кадры (ПрК), которыми заполняют временные интервалы между Ключевыми Кадрами.

Это не только убыстряет процесс, но и делает его проще . Чем больше у вас Промежуточных Кадров (заполняющих разрезов), тем более гладким и точным будет движение.

Если вы аниматор, то в вашей власти контролировать количество ПрК. Это очень похоже на резку полигонов в 3D.

Рисование большОго количества ПрК и управление ими всеми – это очень утомительная работа. То же самое касается перемещения большОго количества вершин в 3D – это очень трудоемко.

Идея, которая лежит за КР – это суставы. Когда моделер набрасывает черновую форму, то обязательно начинает с КР, которые всегда выглядят грубо. Если редактор, который вы используете, поддерживает кости, то воспользуйтесь ими, чтобы понять это. Сгибайте/скручивайте кости в суставах, чтобы увидеть вашу грубую форму в позах.

После того, как все КР готовы, у вас есть два варианта:

Сгладить модель.
Иногда я создаю КР, а потом просто позволяю коду, отвечающему за разбиение модели на большее количество полигонов (subdivision - разбиение), дорисовать вместо меня все ЗР. Недостаток в том, что это не выглядит реалистично. Поэтому следующим шагом является использование мягкого выделения, чтобы подправить форму. Иногда это позволяет сэкономить кучу времени (но это зависит от того, что вы моделируете).
Добавить ЗР вручную.
В большинстве случаев я предпочитаю ручную работу, поскольку так я могу контролировать количество ЗР и их местоположение.

Обращаю ваше внимание, что эта концепция с Ключевыми и Заполняющими разрезами годится не только для создания форм, но и для детализации вашего меша. КР и ЗР, созданные с помощью разбиения, это один из способов оптимизирования меша (ягодицы, бедра и т.п.). Также, иногда Заполняющий Разрез может становится Ключевым Разрезом в зависимости от того как посмотреть. Вы - творец, поэтому всё в вашей власти.

Важно еще то, что эта концепция также отлично работает для топологии/лупов (Ключевые и Заполняющие Лупы).

Основной и Заполняющий – это очень интересная концепция, поскольку ее можно применить почти ко всему! В следующий раз, когда вы будете смотреть на сетку топологии, попробуйте найти Ключевой Луп, поскольку каждая голова имеете хотя бы один такой.

Исходя из того, что я видел существуют такие топологии головы:

C-луп
X-луп
Е-луп
И куча других

Обо всем этом я расскажу позже, а сейчас сфокусируемся на форме.

Округление

Это наиболее частая ошибка всех новичков. Они создают Ключевые Разрезы, а потом Заполняющий между ними и все это оставляют без малейших изменений. Если вы не будете округлять ваши ЗР, то результат будет квадратным (неестественным, неорганическим) и придется потом хорошенько попотеть, чтобы это исправить. Если вы, каждый раз при создании очередного Заполняющего Разреза, вы будете его правильно подгонять под форму, то избавите себя от постоянных переделок меша.

Следование линиям формы (линиям тела, плавность линий).

Другая частая ошибка – это НЕ следование плавным линиям объекта. Помните, что это органическое моделирование, поэтому пытайтесь думать органически. Когда вы набрасываете такие части тела как хвост или тело, которое изгибается, попробуйте представить изгибающийся цилиндр. И создавайте блоки соответствующим образом.

Страх, спешка и сомнения

Это психический уровень проблемы, когда вы только начинаете 3D-моделирование.

Каждый раз, когда вы что-либо делаете впервые, вы испытываете большие трудности. Суть в том, что не нужно сдаваться! Через это проходят все . Редко можно встретить человека, который прошел этот начальный этап и не рассказывает, как он страдал.

Поэтому вот мой совет: легче, притормозите, тут некуда спешить. Попробуйте потратить месяц или два на игры с формой. Начните с таких объектов, которые позволят вам наделать кучу ошибок, к примеру, с существ. И просто практикуйтесь. Если получилось говняно – удалите и начните сначала.

Вначале у вас все будет получаться медленно, но по мере того как вы будете делать схожие задания, ваша скорость будет все время возрастать. Именно для этого нам и нужна практика, чтобы делать всё лучше и быстрее.

Когда вы создаете модель впервые - это может быть очень забавным процессом. Все из-за "взгляда на целое".

Возьмем, к примеру, человеческую фигуру. Скажем, вы начали с туловища и экструдом (extrude) вытягиваете его. Если у вас еще нет ног и рук/головы, то все это выглядит очень комично. Чтобы "это" выглядело как человек, вы должны доделать все оставшиеся части тела.

Так что не нужно терять интерес из-за страшного результата, не имея всех частей на месте. Вам просто необходимо доэкструдить все части тела и расположить их в правильных местах, только тогда "это" начнет выглядеть как человеческая фигура.

Практикуйтесь

Субъект моделирования

Сначала давайте поговорим о субъекте моделирования.

Если вы занимаетесь моделированием персонажей , то вы явно начнете с головы и будете спускаться вниз. Упрощенная голова, туловище, а потом руки и ноги. Через несколько недель вы поймете, что голова это наиболее простая часть тела, поскольку это всего лишь один блок, целиком видимый из одной точки. И все что вам нужно для моделирования это приближать (zoom) и отдалять её (голову).

Другие части тела (руки, ноги) будут вызывать больше сложностей, поскольку тут необходимо, чтобы вы вращали (rotate) и масштабировали (zoom) модель в окне проекции. А поскольку вы новичок в 3D, то большая вероятность, что вы не привыкли по полной программе использовать вращение, облет (spin), панорамирование (pan) и масштабирование в окнах проекций.

Поначалу, чтобы избежать ненужных трудностей используйте референсы. И уже когда набьете руку, попробуйте моделировать по памяти.

Создать впервые руку по памяти – это тяжело. Поэтому старайтесь сперва использовать справочные изображения/фотографии, а позже – память.

Зачем вообще делать по памяти? Да просто чтобы проверить, улучшилось ли ваше понимание формы руки (или другого объекта, что вы создаете).

Если вы моделируете разных существ , то тут такая же ситуация. Начинайте с головы, далее тело, а потом все ниже. Не ограничивайте себя, моделируя только какую-то одну часть. Прыгайте с одной части на другую (я, к примеру, так делаю), так у вас (благодаря смене вида деятельности) будет постоянно поддерживаться интерес к этому процессу.

Выдавливание (Extrude).

Перед тем как вы приступите к экструду таких частей как руки и ноги, вы должны знать, что существует всего два пути это сделать. Это связано с тем, как смоделировать угол.

Метод А, конечно же, более быстрый, но вы все равно, рано или поздно, вы придете к методу Б. Вы также можете преобразовать А в Б с помощью метода Располюсовки (об этом позже). Также обратите внимание на линию формы (красная).

Я видел много разновидностей метода А для создания реалистичной человеческой руки . В то время как метод Б подходит для нереалистичных персонажей , к примеру, мультяшных и подобных.

Если вам сложно поворачивать каждый раз, когда вы экструдите, то используйте метод А. Но это не имеет особого значения (какой вы метод выберите) поскольку вы можете конвертировать одну топологию в другую по ходу работы.

На этом первая часть статьи заканчивается. Можете задавать вопросы если что-то неясно.

Привожу в завершение несколько лучших .

Это мой перевод отличной серии постов от SomeArtist на subdivisionmodeling.com (которые были удалены, поскольку форум прекратил своё существование ).

Подпишитесь на обновление блога (вот ).

P.S. Варвар-черепаха на заглавной картинке сделан американцем Jesse Sandifer. Моделирование было выполнено полностью в Mudbox , потом вся сцена была собрана в 3ds Max и визуализирована силами VRay . Photoshop использовался для текстурирования и постобработки. Другие виды персонажа, а также обсуждение работы читайте

Топология - довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» - один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй - несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы - факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой.

Давайте внесем ясности

Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.
Попробуем формализовать это все по-детски.
Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы . Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

Очень полезный случай - сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек - тогда это просто сфера, может быть одна - тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками - обособляется среди других фигур? Все очень просто - любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера - двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Этот урок послужит хорошим стартом для тех, кто хочет научиться моделировать первоклассных персонажей. Знаменитый в своем круге Jahirul Amin расскажет о важности правильной топологии, равномерной сетки, важности четырехугольных полигонов и многое другое.

Перед тем, как погружаться в 3D-омут, предлагаю устроить краткий ликбез и поплескаться на мелководье. Ниже мы затронем основы полигонального моделирования, без знания которых бессмысленно двигаться дальше.

Введение

Когда геометрия становится подспорьем моделера или аниматора, идеальная компоновка сетки (она же меш) стоит на первом месте. После этого в игру должна вступить хорошая топология, снижающая количество дефектов при анимации персонажа. Другими словами, правильно (и вовремя) созданный полигон сохранит не то, что часы – дни вашей жизни.

3-х угольник vs 4-х угольник vs N-угольник

Итак, в чем же разница между 3-, 4- и N-угольными полигонами? Ответ очевиден: у первого 3 стороны, у второго – 4, у третьего – любое их количество, большее 4-х. Если вы моделируете допустим персонажа для дальнейшей его анимации, то рекомендуют использовать только четырехугольники . Процесс деформирования и деления четырехугольных полигонов проходит гораздо проще, к тому же, вы столкнетесь с меньшим искажением текстуры.

Треугольники рекомендуется прятать от своих и чужих глаз. Например, в местах подмышек или в паховой области персонажа. В свою очередь, на многоугольники наложен негласный запрет — их быть не должно. Они провоцируют искажение и доставляют немало хлопот, когда дело доходит до риггинга и редактирования групп вершин (оно же «weight-painting»).

Наконец, модель, которая состоит преимущественно из четырехугольных полигонов, будет легче экпортировать в другие программы моделирования, такие как или Mudbox.

Радости четырех и трехугольных полигонов и ужас N-угольника

Контуры лица, по определению напоминающие N-угольник, нужно максимально приблизить к четырехугольному формату. Мало того – расположение полигонов должно быть настолько равномерным, насколько это в принципе возможно . Вот, к чему призывает одноименная геометрия. Соблюдение этих правил облегчит прохождение стадии риггинга и поможет при деформировании персонажа в процессе анимации. Кроме того, уменьшится масштаб искажений, связанный с применением текстур, хотя здесь не стоит забывать о важности самой UV развертки.

Для выполнения описанной задачи в Maya предусмотрен инструмент Sculpt Geometry.

Инструмент Sculpt Geometry в Maya поможет «разгладить» сетку модели

Отвечает за плавность перехода каждого отдельно взятого эджа (оно же Edge Flow). Звучит, может, и просто, но на практике это весьма коварная штука.

Если вы задались целью создать реалистичного персонажа, перед началом работы рекомендуется изучить основы анатомии. Следуя за строением человеческого тела и естественным движением мышц, аниматор, в конечном счете, получает приближенную к оригиналу копию. Особенно чётко это прослеживается в процессе деформации. Советуем начать с процесса образования морщин и растягивания кожи.

Для стилизованных и мультипликационных персонажей Edge Flow имеет куда меньшее значение. Но, всё же, я настоятельно рекомендую получить хотя бы базовое представление анатомии человека.

Чтобы форма получилась реалистичной, создайте хорошую топологию и обязательно учитывайте плавность направления сетки (эджей, полигонов).

Она же – немногообразность (non-manifold). Означает, что трёхмерный объект невозможно разрезать и превратить в плоским.

Пример: создайте куб, выделите любое ребро (край) и выдавите его Edit Mesh > Extrude. Перед вами немногообразный объект. (Пример ниже слева) Если бы куб был изготовлен из бумаги, то при развёртывании вы бы получили крестообразную фигуру с нарушенными пропорциями. Использование подобного объекта в булиевых операциях (Boolean operation) практически невозможно.
Чтобы исправить ситуацию, воспользуйтесь инструментом Cleanup.

Нарушение топологии геометрии может создать не один десяток проблем. Будьте бдительны и периодически осматривайте фигуру под разными углами.

У каждой петли (ребра эджа) должна быть цель

Как правило, моделирование начинается с примитивной фигуры (например, с куба), строение которой впоследствии усложняется путем добавлении петлей ребёр (edge loops).

Важно, чтобы каждый новый элемент был создан с конкретной целью. Бывают ситуации, в которых «меньше» равно «лучше». Понимание принципов оптимизации модели приходит лишь с опытом, так что не расстраивайтесь и продолжайте работать.

Не усложняйте себе жизнь: детализация должна быть целесообразной

Всё, что мы пытаемся сделать на экране, есть отображение окружающего нас мира в различных его формах и проявлениях. Именно поэтому так важно время от времени вставать из-за стола. Важно не только для разработчиков, но и для аниматоров, риггеров, постановщиков света и т.д.

Присмотритесь к поверхности, ее структуре и тени. Как она отражает свет? Как происходит процесс деформации? Ответ на эти и другие вопросы поможет вам принять правильное решение при моделировании любого объекта.

ВВЕДЕНИЕ

Будущий исследователь рождается

не в 30 лет, обучаясь в аспирантуре,

а гораздо раньше того времени, когда

родители впервые поведут его в детский сад.

Александр Ильич Савенков

д.п.н., профессор МПГУ

В условиях развития новых технологий резко возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому как никогда актуальной становится математическая подготовка учащихся. Здесь уместно вспомнить высказывание великого русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, телах и геометрических фигурах. В школьном курсе геометрии мы будем изучать различные тела и их свойства.

Но это будет в будущем, а пока меня заинтересовал вопрос: «Что такое лист Мёбиуса?». Вы спросите меня, почему мне это интересно. Отвечу. Я очень люблю читать. Особенно фантастику. Одним из моих любимых писателей - фантастов является Артур Кларк.

В его рассказе «Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете, изогнутой в виде листа Мёбиуса. Мне стало интересно, что это за фигура и каковы её свойства.

Изучив соответствующую литературу и Интернет-источники я узнал, что изучением этого вопроса занимается отдельный раздел математики – топология. Вот почему моя работа посвящена решению простейшей исследовательской задачи в данной области.

Цель работы можно сформулировать как получение представления об одном из интереснейших и необычных разделов математики, а именно топологии и изучение топологических свойств некоторых объектов.

Для реализации цели мною были решены следующие задачи:

разобраться в том, что изучает данная наука;

изучить историю её возникновения;

рассмотреть топологические свойства некоторых объектов;

узнать о практическом применении топологии.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что за последнее время данная наука всё более проникает в такие фундаментальные области человеческих знаний как физика, химия, биология. Поэтому знание её основ становится значимым для технически образованного человека, живущего в XXI веке.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Топология как наука и предпосылки её возникновения

В отличие от других разделов геометрии, где большое значение имеют соотношение длин, площадей, углов и других количественных характеристик объектов, топологию это всё не интересует, поскольку здесь изучаются иные, качественного свойства вопросы о геометрических структурах.

Давайте начнём постижение азов этой увлекательной науки. Если мы обратимся к литературным источникам, то можно найти следующее определение данного понятия.

Топология – раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгиб .

Поясним встречающееся здесь понятие «непрерывная деформация». Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (то есть нарушения целостности фигуры) или склеиваний (то есть отождествления её точек) .

В основе каждого раздела математики лежит основная идея. Не является исключением и топология. Основной идеей топологии является идея непрерывности, то есть топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях.

Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено . При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать объекты, но не разрешается их рвать и ломать.

Для наглядного представления определения топологии следует сказать, что с точки зрения данной науки такие объекты как чайная чашка и бублик неотличимы друг от друга. Именно поэтому в среде учёных существует крылатая фраза, которая гласит, что математик, занимающийся топологией – это человек, который не отличит бублик от чайной чашки. Данное утверждение справедливо поскольку, сжимая и растягивая кусок резины из которого изготовлены эти объекты, можно перейти от одного тела ко второму.

Рисунок 1 Процесс преобразования чашки в бублик (тор)

Совершим исторический экскурс и вернёмся в XVIII век, когда были заложены основы данной науки.

Одним из учёных, которые стояли у истоков зарождения этой науки является немецкий математик и механик XVIII века Леонард Эйлер. В 1752 году он доказал формулу Декарта, выражающую связь между числом вершин, ребёр и граней простых многогранников:

где, .

Следующий вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о мостах. Речь шла об острове на реке Преголь в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Преголь) и семи мостах, соединяющих остров с берегами (рис.2).

Необходимо было выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную схему Эйлер назвал графом (рис. 3), точки – его вершинами, а линии – ребрами.

Рисунок 2 Задача о Кенигсбергских мостах

Л - левый берег , П - правый берег ,

Рисунок 3 Граф

Вершины учёный разделил на чётные и нечётные в зависимости от того какое число рёбер выходит из вершины. Эйлер доказал, что все рёбра графа можно обойти ровно по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь, если граф содержит только чётные вершины.

Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечётные вершины, то требуемого маршрута прогулки не существует.

Данная задача иллюстрирует практическое применение понятия «уникурсальный граф», которое появилось в словаре топологии в XX веке. Граф называется уникурсальным , если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды .

Таким образом, граф задачи о кёнигсбергских мостах является не уникурсальным и поэтому задача не имеет решения.

Термин «топология» впервые встречается в письме к своему школьному учителю Мюллеру, которое немецкий математик и физик, профессор Геттингенского университета Иоганн Листинг написал в 1836 году. Общая топология, зародившаяся в XIX веке, окончательно оформилась в самостоятельную математическую дисциплину ко второй половине XX века. В значительной степени этому способствовали труды академика П.С. Александрова.

Топологические свойства объектов

Топологию в научно-популярной литературе часто называют резиновой геометрией. Чтобы это понять необходимо, представить себе, что геометрический объект выполнен из резины и при этом обладает следующими свойствами: его можно сжимать, растягивать, закручивать (то есть подвергать всяческим видам деформации), но при этом нельзя разрывать и склеивать.

Например, маленький шарик можно надуть до размеров большого, затем превратить его в эллипс, потом – деформировать в гантель.

Рисунок 4 Процесс деформации объектов

Подобным образом можно поверхность шара превратить в поверхность куба, конуса и других фигур. В математике имеются свойства, которые не нарушаются ни при каких непрерывных деформациях. Это и есть топологические свойства . Изучением этих свойств занимается один из разделов топологии – общая топология.

Свойства, которые изучают в школьной (евклидовой) геометрии, не являются топологическими. Например, прямолинейность не топологическое свойство, поскольку прямую линию можно изогнуть, и она станет извилистой. Треугольность тоже не является топологическим свойством, так как треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.

Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях. Примером топологического свойства является наличие «дырки» у тора (бублика). Причём важно, что дырка не является частью тора. Какую бы непрерывную деформацию не претерпел тор, дырка останется .

Односторонние поверхности

У каждого из нас есть представление о том, что такое "поверхность". Мы просто окружены различными поверхностями: поверхность листа бумаги, поверхность озера, поверхность земного шара...

Как правило, мы представляем поверхность с двумя сторонами: внешняя и внутренняя, лицевая и изнаночная и т. п. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Оказывается, что может.

В 1858 г. немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) открыл поверхность, которую позже стали называть "лист Мёбиуса". Согласно легенде открыть Мёбиусу свой «лист» помогла горничная, которая неправильно сшила концы обычной ленты .

Лист Мёбиуса – простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки такой поверхности в другую можно, не пересекая края.

Давайте повторим это открытие. Создадим исследуемую поверхность и изучим её свойства.

Для работы нам понадобиться лист формата А4, линейка, карандаш, ножницы и клей.

Рисунок 5 Рабочие инструменты

На листе начертим две полоски шириной 4 см и вырежем их. Это будут заготовки, из которых мы будем делать нашу ленту (лист).

Рисунок 6 Создание заготовки

Из одной полоски мы склеим обычное кольцо, а из другой - лист Мёбиуса. Для этого вторую полоску повернем на половину оборота и склеим концы.

Рисунок 7 Этапы работы

Вот что должно у нас получиться.

Рисунок 8 Результат работы

Давайте займёмся исследования свойств полученных фигур. У листа Мёбиуса нельзя отличить лицевую сторону от изнаночной. Они непрерывно переходят друг в друга. Задание окрасить у кольца разные стороны разными цветами не вызовет затруднения. Давайте убедимся в этом на простом примере. Возьмите фломастер, поставьте точку и начинайте непрерывно закрашивать одну сторону. Вы увидите, что закрасится только его внутренняя поверхность.

Рисунок 9 Окрашивание кольца

Но будет ли это справедливо для второго нашего бумажного объекта? Давайте повторим опыт, выбрав в качестве опытной поверхности не кольцо, а лист Мёбиуса.

Рисунок 10 Окрашивание листа Мёбиуса

Вы видите, что весь лист стал окрашенным. А ведь мы по-прежнему вели фломастером только по одной стороне. Из этого можно сделать вывод о том, что у ленты, из которой сделан лист Мёбиуса две стороны, а у самого листа – одна .

Если двигаться по краю листа Мёбиуса, то через полный оборот мы окажемся на другом краю и придём с противоположной стороны.

Продолжим наши изыскания и рассмотрим вопрос о том, как поведут себя наши две фигуры (кольцо и лист Мёбиуса) при их разрезании. Если разрезать кольцо вдоль средней линии, то получится два более узких кольца

Рисунок 11 Разрезание кольца

Рисунок 12 Результат разрезания кольца

Если разрезать вдоль средней линии лист Мёбиуса, то он не распадётся на два кольца, как это было в опыте с кольцом. Мы получим одно кольцо, но в два раза длиннее (полученное кольцо будет иметь двустороннюю поверхность).

Рисунок 13 Разрезание листа Мёбиуса вдоль средней линии

А что будет, если разрезать лист Мёбиуса по линии, лежащей недалеко от края? Чтобы придти в начало разреза, нам придётся проделать путь вдвое длиннее, чем с разрезанием этого листа по средней линии. Получится два сцеплённых кольца, причём одно большое и узкое, а другое маленькое и широкое. Наиболее интересным фактом является то, что большое кольцо будет иметь одностороннюю поверхность, а маленькое – двустороннюю.

Если изготовить лист Мёбиуса, который закручен на 3 полуоборота (540 градусов), а затем разрезать его пополам, то получится лист Мёбиуса, закрученный узлом.

Интересные вещи получаться, если сложить бумагу гармошкой, затем сделать из неё лист Мёбиуса и разрезать его пополам или на одну треть. Перед нами предстанут три сцеплённых между собой кольца .

Как исследователей свойств данной фигуры нас заинтересовал вопрос: всегда ли можно создать ленту Мёбиуса? Оказалось, что если взять квадратный лист бумаги и вырезать из него полоску, то мы не сможем получить интересующую нас фигуру.

Тогда встаёт новый вопрос: каково должно быть отношение длины и ширины полоски, чтобы из неё всегда можно было получить ленту Мёбиуса? Математически было доказано, что если мы примем ширину полоски за 1, то длина должна быть 1,73.

Практическое применение топологии

Когда говорят о топологии, то лист Мёбиуса это первое, что приходит в голову человеку знакомому с данным вопросом. Поэтому в сфере практического применения данной науки в различных отраслях человеческой деятельности чаще всего встречается использование именно этой фигуры.

Удивительные свойства ленты Мёбиуса служат источником вдохновения для писателей и поэтов. В качестве примера хочу привести небольшой отрывок из стихотворения Натальи Ивановой:

Лист Мебиуса - символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нём бесконечность свернута кольцом.

В нём – простота, и вместе с нею – сложность,

что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца.

Классической книгой о жизни в двумерном пространстве по праву считается «Флатландия» Эдвина Эббота и её продолжение «Сферландия», написанная Дэвидом Бюргером в 1976 году.

Флатландец обитает на планете, имеющей форму двумерной поверхности. Если его вселенная бесконечная плоскость, то он может путешествовать на любые расстояния в любом направлении. Но если поверхность, на которой он обитает, замкнута подобно сфере, то она неограниченна и конечна.

В какую бы сторону ни отправился флатландец, двигаясь прямо и никуда не сворачивая, он непременно вернётся туда, откуда он начал своё путешествие. Когда флатландец совершает кругосветное путешествие по сфере, он как бы движется по полоске, склеенной в кольцо .

Но если житель этой планеты путешествует по ленте Мёбиуса, то вернувшись в исходную точку, он обнаружит у себя сердце не слева, а справа! Подобная ситуация описана в фантастическом рассказе Герберта Уэллса «История Платтнера». Человек, побывав в четвёртом измерении, вернулся на Землю своим зеркальным двойником – с сердцем, расположенным справа.

На производстве в виде листа Мёбиуса изготавливают ленту для конвейера. Такая конструктивная особенность позволяет увеличить срок службы ленты, так как происходит равномерное изнашивание её поверхности.

Рисунок 14 Ленточный конвейер

Сравнительно недавно основным устройством вывода информации с компьютера на печать был матричный принтер. В его печатной головке красящая лента также была уложена в виде ленты Мёбиуса.

Рисунок 15 Матричный принтер

Поскольку разговор пошёл о компьютерах, то для того чтобы соединить несколько машин в единое целое применяется компьютерная сеть. Одним из основных терминов сетевой технологии является понятие топологии сети. Топология – общая схема компьютерной сети, отображающая физическое расположение компьютеров и соединение между ними.

Рисунок 16 Примеры топологии компьютерной сети

Форма ленты Мёбиуса достаточно успешно применяется и в архитектуре. Приведём несколько подобных примеров.

Рисунок 18 Логотипы на основе листа Мёбиуса

Существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом листа Мёбиуса и поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Кроме того такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Рисунок 19 Спираль ДНК

Художники и графики также не обошли своим вниманием интересующую нас тему. Показательным в этом отношении является творчество нидерландского художника-графика XX века Мориса Эшера. Известен он своими литографиями, в которых мастерски исследовал пластические аспекты бесконечности и симметрии.

О своём творчество он говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам – художникам».

Рисунок 20 Литографии Мориса Эшера

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Топология самая юная и самая

мощная ветвь геометрии, наглядно

демонстрирует плодотворное влияние

противоречий между интуицией и логикой.

Рихард Курант

американский математик

Русская народная пословица гласит: «Конец – делу венец». Вот и подошло к завершению моё маленькое путешествие в увлекательный и необычный мир топологии. Пришло время подвести итоги.

В ходе выполнения работы я познакомился с новой для меня областью математики – топологией. Рассмотрел некоторые из простейших понятий, используемых данной наукой и доступных для понимания без серьёзной математической подготовки.

На практике воссоздал самую известную топологическую поверхность – лист Мёбиуса и исследовал его общие свойства. Также познакомился с практическим применением топологических поверхностей в различных сферах человеческой деятельности.

Таким образом, были успешно решены все задачи, поставленные мною в начале этой работы. Я надеюсь, что моё знакомство с данной областью математики в дальнейшем не будет столь поверхностным, что даёт основания для продолжения работы по выбранной теме по мере накопления моего математического багажа.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров [и др.]. – М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1988. – 340 с.

Болтянский, В.Г. Наглядная топология / В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович – М.: Наука, 1975. – 160 с.

Старова, О.А. Топология / О.А. Старова // Математика. Всё для учителя. – 2013. – № 9. – с.28-34.

Стюарт, Я. Топология / Я. Стюарт // Квант. – 1992. – № 7. – с. 28-30.

Проект для одарённых детей: Алые паруса [Электронный ресурс] – Режим доступа: http :// nsportal . ru / ap / blog / nauchno - tehnicheskoe - tvorchestvo / list - myobiusa – дата доступа: 18.01.2017