ВВЕДЕНИЕ

Согласно I начала термодинамики, количество энергии, сообщенное системе в процессе теплообмена dQ, идет на из­менение ее внутренней энергии dU и на совершение системой работы dA против внешних сил:

Количество теплоты, необходимое для нагревания одного (кило)моля газа на один градус, определяется молярной тепло­емкостью - С.

Величина теплоемкости зависит от условий нагревания. Различают два вида теплоемкостей: С p - молярная теплоем­кость при постоянном давлении и С v - молярная теплоем­кость при постоянном объеме, связанных между собой уравне­нием:

С p =С v +R, (2)

где R - универсальная газовая постоянная, численно рав­ная работе, совершаемой при нагревании одного моля идеаль­ного газа на один кельвин при постоянном давлении.

Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ=0), называется адиабатическим. Он описывается уравнением Пуассона:

Работа адиабатического процесса, как следует из I нача­ла термодинамики (3), совершается только за счет изменения внутренней энергии:

Полная работа адиабатического процесса может быть вы­числена по формуле:

(5)

Приборы и принадлежности: жидкостный мано­метр, закрытый стеклянный баллон с трехходовым краном, насос.

ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

Метод определения С p /С v , используемый в работе, осно­ван на процессе адиабатического расширения воздуха.

Установка (рис. 22) состоит из толстостенного баллона 2, соединенного с нагнетательным насосом 3 и открытым U-об­разным водяным манометром 1. Трехходовой кран 4 позволя­ет соединить баллон с насосом или атмосферой.

Обозначим массу газа в баллоне при атмосферном давле­нии - m 1 .

Если соединить баллон с насосом и накачать воздух, то давление в баллоне повысится и станет равным p 1 =p 0 +h 1 , где h 1 - избыток над атмосферным давлением р 0 , измеряе­мый манометром, (р 0 , и h 1 должны быть выражены в одинако­вых единицах).

Примечание. Так как при нагнетании воздух в баллоне нагревается, измерять избыток давления h 1 сле­дует тогда, когда температура воздуха в баллоне станет равной комнатной (спустя 1-2 мин).

Газ массой m 1 теперь будет занимать объем V 1 , меньший объема баллона.

Его состояние характеризуется параметрами: p 1 , V 1 , T 1 (рис. 23). Если на короткое время с помощью крана сообщить баллон с атмосферой, то воздух будет быстро (т. е. адиабати­чески) расширяться. Часть воздуха массой m выйдет из баллона. Оставшийся воздух массой m 1 , который занимал перед открытием крапа часть объема баллона, снова займет весь объем V k = V 2 . Давление в баллоне станет равным атмос­ферному (р 2 =p 0). Температу­ра воздуха в результате его адиабатического расширения окажется ниже комнатной. Та­ким образом, в момент закры­тия крана воздух находится в состояния II (р 2 , V 2 , T 2).

Для массы газа m 1 , соглас­но закону Пуассона (3), полу­чим:

Так как температура в состоянии I и III одинаковая, то по закону Бойля-Мариотта:

Сравнивая равенства (6) и (7), получим:

Логарифмируем это выражение

и решаем его относительно

Учитывая, что p 1 =p 0 +h 1; p 2 = p 0 ; p 3 =p 0 +h 2 получим:

Так как давления незначительно отличаются друг от друга, то приближенно в последнем выражении можно логарифмы заменить числами:

или

Для вычисления работы адиабатического расширения вос­пользуемся формулой (5). Так как по закону Пуассона

то формула (5) примет вид:

A=

где V≈V к, указанный на установке.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. С помощью крана соединить баллон с насосом и нагнетать воздух до тех пор, пока разность уровней жидкости в манометре не станет равной 20-30 см.

2. Закрыть кран, подождать до тех пор, пока уровни жид­кости в манометре не установятся. Отсчитать разность уров­ней жидкости в коленах манометра h 1 (отсчет производить по нижнему краю мениска).

3. Открыть кран и в тот момент, когда уровни жидкости в обоих коленах манометра сравняются, быстро закрыть его.

4. Выждав 1-2 мин пока воздух в баллоне нагреется до комнатной температуры, измерить разность уровней жидкос­ти в обоих коленах манометра h 2

5. По барометру измерить атмосферное давление р 0 .

6. Данные занести в таблицу.

7. Опыт (пункты 1-4) повторить не менее пяти раз.

№№ п/п	h 1, мм вод. ст.	h 2, мм вод. ст.	h 1 -h 2, мм вод. Ст.

ВЫЧИСЛЕНИЯ

1. Вычислить по формуле (8) значение для каждого измерения.

Цель работы : Изучение тепловых процессов в идеальном газе, ознакомление с методом Клемана-Дезорма и экспериментальное определение отношения молярных теплоемкостей воздуха при постоянном давлении и постоянном объеме.

Описание установки и метода изучения процесса

Внешний вид рабочей панели и принципиальная схема экспериментальной установки ФПТ1-6н представлена на рис. 8: 1 – включатель «СЕТЬ» для питания установки; 2 – включатель «Компрессор» для нагнетания воздуха в рабочий сосуд (емкость объемом V = 3500 см 3), расположенный в полости корпуса; 3 – кран К1, необходимый для предотвращения сброса давления из рабочего сосуда после остановки компрессора; 4 – пневмотумблер «Атмосфера», позволяющий на короткое время соединять рабочий сосуд с атмосферой; 5 – измеритель давления с помощью датчика давления в рабочем сосуде;

Рис. 8. Внешний вид рабочей панели

6 – двухканальный измеритель температуры, позволяющий измерить температуру внутри окружающей среды и температуру внутри рабочего сосуда.

Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Уравнение, устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния. Для идеальных газов таким уравнением является уравнение Клапейрона-Менделеева:

где m – масса газа; μ – молярная масса; R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная.

Любое изменение состояния термодинамической системы, связанное с уменьшением или увеличением хотя бы одного из параметров р, V, Т, называется термодинамическим процессом.

Изопроцессы – это процессы, протекающие при одном постоянном параметре:

изобарический – при р = const ;

изохорический – при V = const ;

изотермический – при Т = const .

Адиабатический процесс совершается без теплообмена с окружающей средой, поэтому для его осуществления систему теплоизолируют или ведут процесс так быстро, чтобы теплообмен не успел произойти. При адиабатическом процессе изменяются все три параметра р , V , Т .

При адиабатическом сжатии идеального газа температура его повышается, а при расширении понижается. На рис. 9 в системе координат р и V изображены изотерма (рV = const ) и адиабата (рV γ = const ). Из рисунка видно, что адиабата проходит круче изотермы. Объясняется это тем, что при адиабатическом сжатии увеличение давления газа происходит не только из-за уменьшения его объема, как при изотермическом сжатии, но и за счет повышения температуры.

Рис. 9. рV = const; рV γ = const

Теплоемкостью вещества (тела) называется величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания его на один Кельвин. Она зависит от массы тела, его химического состава и вида процесса теплоты. Теплоемкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью С μ .

Согласно первому началу термодинамики количество теплоты dQ , сообщенное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии dU системы и совершение системой работы dA против внешних сил

dQ = dU + dA . (2)

Используя первое начало термодинамики (2) и уравнение Клапейрона-Менделеева (1), можно вывести уравнение, описывающее адиабатический процесс, – уравнение Пуассона

рV γ = const,

или в других параметрах:

TV γ -1 = const,

T γ p 1-γ = const.

В этих уравнениях - показатель адиабаты

γ = С р / С v ,

где С v и С p – молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно.

Для идеального газа расчет теплоемкостей С р и С v можно провести теоретически. При нагревании газа при постоянном объеме (изохорический процесс) работа газа dA = рdV равна нулю, поэтому молярная теплоемкость

, (3)

где i – число степеней свободы – количество независимых координат, с помощью которых однозначно можно задать положение молекулы; индекс V означает изохорический процесс.

При изобарном нагревании (p = const ) количество теплоты, подведенное к газу, расходуется на увеличение внутренней энергии и на совершение работы расширения газа:

.

Теплоемкость моля газа при этом равна

Уравнение (5) называется уравнением Майера. Следовательно, разность молярных теплоемкостей С р – С v = R численно равна работе расширения одного моля идеального газа при нагревании его на один Кельвин при постоянном давлении. В этом заключается физический смысл универсальной газовой постоянной R.

Для идеальных газов отношение γ = С р / С v = (i + 2) / i зависит только от числа степеней свободы молекул газа, которое, в свою очередь, определяется структурой молекулы, т.е. количеством атомов, из которых состоит молекула. Одноатомная молекула имеет 3 степени свободы (инертные газы). Если молекула состоит из двух атомов, то число степеней свободы складывается из числа степеней свободы поступательного движения (i пост = 3) центра масс и вращательного (i вр = 2) движения системы вокруг двух осей, перпендикулярных к оси молекулы, т.е. равно 5. Для трех- и многоатомных молекул i = 6 (три поступательные и три вращательные степени свободы).

В данной работе коэффициент γ для воздуха определяется опытным путем.

Если при помощи насоса в сосуд накачать некоторое количество воздуха, то давление и температура воздуха внутри сосуда повысятся. Вследствие теплообмена воздуха с окружающей средой через некоторое время температура воздуха, находящегося в сосуде, сравняется с температурой T 0 внешней среды.

Давление, установившееся в сосуде, равно р 1 = р 0 + р′ , где р 0 – атмосферное давление, р′ – добавочное давление. Таким образом, воздух внутри сосуда характеризуется параметрами (р 0 + р′ ), V 0 , Т 0 , а уравнение состояния имеет вид

. (6)

Если на короткое время (~3с) открыть тумблер «АТМОСФЕРА», то воздух в сосуде будет расширяться. Этот процесс расширения можно рассматривать как подключение к сосуду дополнительного объема V′ . Давление в сосуде станет равным атмосферному Р 0 , температура понизится до Т 1 , а объем будет равен V 0 + V′ . Следовательно, в конце процесса уравнение состояния будет иметь вид

. (7)

Разделив выражение (7) на выражение (6), получим

. (8)

Расширение происходит без теплообмена с внешней средой, т.е. процесс является адиабатическим, поэтому для начального и конечного состояний системы справедливо соотношение

. (9)

Где А – атомная масса; m ед - атомная единица массы; N А - число Авогадро; моль μ – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12 С.

Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы при нагревании.

Если газ нагревать при постоянном объёме , то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа, то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С V .

С Р – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h , то есть газ совершит работу (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы. Отсюда ясно, что .

Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.

Величины С Р и С V оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.

Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое начало термодинамики запишем в виде:

,

(4.2.3)

Т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты равно приращению внутренней энергии dU .

Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:

Так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива формула (4.2.4).

Из (4.2.4) следует, что

,

При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение работы газом:

.

Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

2. Что такое степени свободы молекул? Как число степеней свободы связано с коэффициентом Пуассона γ?

Числом степеней свободы тела называется число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. Так, например, материальная точка, произвольно движущаяся в пространстве, обладает тремя степенями свободы (координаты x, y, z).

Молекулы одноатомного газа можно рассматривать как материальные точки на том основании, что масса такой частицы (атома) сосредоточена в ядре, размеры которого очень малы (10 -13 см). Поэтому молекула одноатомного газа может иметь лишь три степени свободы поступательного движения.

Молекулы, состоящие из двух, трех и большего числа атомов, не могут быть уподоблены материальным точкам. Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой два жестко связанных атома, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

3. Чему равна теплоемкость идеального газа при адиабатическом процессе?

Теплоемкостью называется величина, равная количеству теплоты, которое нужно сообщить веществу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.

4. В каких единицах измеряются в системе си давление, объем, температура, молярные теплоемкости?

Давление – кПа, объем – дм 3 , температура – в Кельвинах, молярные теплоемкости – Дж/(мольК)

5. Что такое молярные теплоемкости Ср и Сv?

У газа различают теплоемкость при постоянном объеме С v и теплоемкость при постоянном давлении С р.

При постоянном объеме работа внешних сил равна нулю, и все сообщаемое газу извне количество теплоты идет целиком на увеличение его внутренней энергии U. Отсюда молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С v численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа ∆Uпри повышении его температуры на 1К:

∆U=i/2*R(T+1)-i/2RT=i/2R

Таким образом, молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

С v =i/2R

удельная теплоемкость при постоянном объеме

С v =i/2*R/µ

При нагревании газа при постоянном давлении газ расширяется, сообщаемое ему извне количество теплоты идет не только на увеличение его внутренней энергии U, но и на совершение работыAпротив внешних сил. Следовательно, теплоемкость газа при постоянном давлении больше теплоемкости при постоянном объеме на величину работыA, которую совершает один моль газа при расширении, происходящем в результате повышения его температуры на 1Kпри постоянном давленииP:

С р = С v +A

Можно показать, что для моля газа работа A=R, тогда

С р = С v +R=(i+2)/2*R

Пользуясь соотношением между удельными в молярными теплоемкостями, находим для удельной теплоемкости:

С р = (i+2)/2*R

Непосредственное измерение удельных и молярных теплоемкостей затруднительно, так как теплоемкость газа составит ничтожную долю теплоемкости сосуда, в котором находится газ, и поэтому измерение будет чрезвычайно неточно.

Проще измерить отношение величии С р / С v

γ=С р / С v =(i+2)/i.

Это отношение зависит только от числа степеней свободы молекул, из которых состоит газ.

Кроме удельной теплоемкости вводится понятие молярной теплоемкости, которая определяется количеством тепловой энергии, необходимой для нагревания одного моля вещества на 1К.

Таким образом, если обозначить удельную теплоемкость через с , а молярную теплоемкость через С , то очевидно, С = μс , где μ – масса одного моля вещества.

Для газов удельная теплоемкость, а также молярная теплоемкость, зависит от условий, при которых газ нагревается. Вводится понятие двух теплоемкостей: удельная теплоемкость при постоянном давлении с р и удельная теплоемкость при постоянном объеме с V .

Так как газ при расширении совершает работу против сил внешнего давления, то удельная теплоемкость газа при постоянном давлении больше удельной теплоемкости при постоянном объеме. То есть с р > с V .

Разность величин с р - с V для идеального газа вычисляется теоретически: она равна газовой постоянной, отнесенной к массе одного моля вещества

Адиабатический процесс, при котором отсутствует тепловой обмен между газом и окружающей средой, описывается уравнением Пуассона

где γ – есть отношение удельной теплоемкости идеального при постоянном давлении к удельной теплоемкости того же газа при постоянном объеме, то есть

Из теоретических соображений следует, что для двухатомного газа отношение равно 1,4. Опыт показывает, что для двухатомных газов, например, для водорода, кислорода и т.д., а также для воздуха это отношение близко к его теоретической величине.

1. Описание прибора и метода

Прибор, с помощью которого определяют отношение , состоит из баллона В, манометра М, двух кранов К 1 и К 2 и насоса (рис. 13).

До начала работы в баллоне имеется масса воздуха m , которая при открытых кранах К 1 и К 2 , то есть при атмосферном давлении р 0 , занимает объем V 0 . Температура комнатная Т К.

С помощью насоса нагнетаем в баллон некоторую массу воздуха, закрываем кран К 1 . Та масса воздуха m , которая была в баллоне, сжимается, уступая часть объема баллона новой порции воздуха. Теперь масса воздуха занимает объем меньше объема баллона V 1 < V 0 , давление внутри баллона возрастает до р 1 = р 0 +Δh 1 .

Содержимое баллона при нагнетании дополнительной порции воздуха несколько нагрелось. Вследствие адиабатического сжатия процесс протекает быстро и теплообмен с внешней средой не успевает произойти. Поэтому необходимо подождать, пока температура в баллоне станет равной Т К и установится разность уровней в манометре Δh 1 .

Итак, первое состояние массы воздуха m характеризуется параметрами: р 1 , V 1 , Т к.

р 1 = р 0 +Δh 1

Открываем быстро кран К 2 и выпускаем воздух, пока давление внутри баллона не станет равным атмосферному р 0 , затем снова закрываем кран К 2 . Масса m займет объем всего баллона V 0 , но, так как процесс происходил очень быстро, то обмена теплом с внешней средой не произошло, температура содержимого баллона упала до Т 2 < Т 0 , то есть имеет место адиабатическое расширение.

Итак, второе состояние газа характеризуется параметрами:

р 2 = р 0 ; V 2 = V 0 ; Т 2 < Т К.

При закрытых кранах К 1 и К 2 ждем несколько минут, пока температура повысится до комнатной температуры Т К. В результате этого давление внутри баллона возрастает до

р 3 = р 0 +Δh 2

где Δh 2 – разность уровней жидкости в манометре.

Объем, который занимает масса m воздуха, равен объему баллона V 3 = V 0 . Температура стала комнатной Т К. Третье состояние воздуха характеризуется параметрами:

р 3 = р 0 +Δh 2 ; V 3 = V 0 ; Т К.

Итак, масса воздуха, содержащаяся в баллоне, прошла такие состояния:

I . р 1 = р 0 +Δh 1 ; V 1 < V 0 ; Т К.

II . р 2 = р 0 ; V 2 = V 0 ; Т 2 < Т К.

III . р 3 = р 0 +Δh 3 ; V 3 = V 0 ; Т К.

Переход из I во II состояние – адиабатический процесс. Для него выполнимо уравнение

(40)

Переход из I в III состояние – изотермический. Для него выполнимо уравнение Бойля-Мариотта

(41)

Преобразуем уравнения (40) и (41)

но р 1 = р 0 +Δh 1 , V 2 = V 3 = V 0 , р 3 = р 0 +Δh 3 , р 2 = р 0

(42)

(43)

Подставляем в (42) вместо отношения его значение из (43), получим:

Логарифмируя это уравнение, имеем

Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на р 0 , тогда

из теории приближенных вычислений известно, что при малых значения х:

(44)

Таким образом, измеряя на опыте и, мы можем определить отношение удельных теплоемкостей воздуха:

II . Порядок выполнения работы.

1.Закрыть кран К 2 и открыть кран К 1 . Накачать насосом воздух в баллон до давления, соответствующего разности уровней жидкости Δh = 10 ÷ 15 см, и закрыть кран.

2.Подождать, пока разность уровней в манометре установится, записать эту разность.

3.Открыть кран К 2 и в момент, когда уровни в манометре сравняются, закрыть его, не ожидая, пока закончатся колебания жидкости в манометре.

4.Подождать, пока воздух в баллоне, охладившийся при адиабатическом расширении, прогреется до комнатной температуры. Записать эту разность Δh 2 .

5.По полученным значениям Δh 1 и Δh 2 вычислить

6.Опыт проделать пять раз и по полученным данным вычислить среднее значение

7.Выпустить воздух из баллона, открыв на некоторое время кран К 2 .

8.Вычислить абсолютную и относительную погрешности определения γ

№ п/п	Δh 1 , мм	Δh 2 , мм
1
2
3
4
5

Контрольные вопросы

1.Что называется теплоемкостью? удельной теплоемкостью? молярной теплоемкостью? Запишите связь между удельной и молярной теплоемкостями.

2.Дайте определение с р и с V , С р и С V . От чего зависит теплоемкость?

3.Выведите уравнение Майера (связь С р и С V ).

4.Что больше и почему С р или С V ?

5.Какой процесс называется адиабатическим. Запишите уравнение адиабаты. Что и почему идет круче адиабата или изотерма?

6.Запишите первое начало термодинамики для адиабатического процесса. Чему равны: количество теплоты, внутренняя энергия и работа при адиабатическом процессе?

7.Выведите уравнение Пуассона.

8.Чему равен показатель адиабаты? От чего он зависит?

9.Сколько раз и когда в лабораторной работе происходит адиабатический процесс?

10.Дайте определение энтропии. Какой параметр постоянен при адиабатном процессе? Запишите второе начало термодинамики.

11.Какой процесс называется циклическим? Цикл Карно. КПД цикла Карно. На каких участках цикла Карно тепло подводится, забирается, и на каких совершается работа газом и над газом?